Question

（1）如圖1，AB∥CD，AB=CD，直線EF分別交AB、CD 于B、C，且BF=EC．求證：∠A=∠D．
（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．①求∠BDC的度數；②求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出BE=CF，∠ABC=∠DCF，根據SAS證出△ABE≌△DCF即可；
（2）求出∠DBC，根據三角形內角和定理求出∠BDC即可；過D作DE⊥BC于E，過B作BF⊥DC于F，求出CF、BF、DF，根據三角形面積公式求出DE，即可求出答案．
解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵EC=BF，
∴EC+BC=BF+BC，
∴EB=CF，
∵在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴∠A=∠D．

（2）解：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC=90°，
∵，∠ABD=15°，
∴∠DBC=75°，
又∵∠C=60°，
∴∠BDC=45°．

過D作DE⊥BC于E，過B作BF⊥DC于F，
∵∠C=60°，
∴∠FBC=30°，
∴CF=BC=×2=1，
∵∠DBC=75°，
∴∠DBF=45°，
∴∠BDF=45°=∠DBF，
∴BF=DF，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF==，
∴DF=，DC=1+，
在△DBC中，由三角形的面積公式得：BC×DE=DC×BF，
×2×DE=×（1+）×，
DE=，
∵∠ABC=90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE=．
點評：本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的性質和判定，平行線性質，三角形的面積公式，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．