Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長線上一點，且∠BAE=∠C.

【小題1】求證：直線AE是⊙O的切線
【小題2】若EB=AB，，AE=24，求EB的長及⊙O的半徑.

Answer 1

【小題1】證明：連結BD.   

∵ AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD =90°.
∴∠1+∠D =90°.
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE.   
∴∠1+∠BAE=90°.
即∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直徑，
∴直線AE是⊙O的切線. 
【小題2】解: 過點B作BF⊥AE于點F, 則∠BFE=90°.
∵ EB="AB,"
∴∠E="∠BAE," EF=AE=×24=12. 
∵∠BFE=90°, ,
∴=15.  
∴ AB=15.          
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 
∴∠D=∠E.
∵∠ABD=90°,
∴  .     
設BD=4k，則AD＝5k.
在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝="3k,"
可求得k=5.     
∴
∴⊙O的半徑為.  解析:
（1）證得∠DAE=90°即可說明直線AE是⊙O的切線.；
（2）過點B作BF⊥AE構建直角三角形，利用三角函數和勾股定理進行計算。