Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，DA、DC分別切⊙O于點A，C，且AB=AD．

（1）求tan∠AOD的值．

（2）AC，OD交于點E，連結BE．

①求∠AEB的度數；

②連結BD交⊙O于點H，若BC=1，求CH的長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②

【解析】

（1）根據切線的性質可得∠BAD=90°，由題意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；

（2）①根據切線長定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根據等腰三角形的性質可得DO⊥AC，AE=CE，根據圓周角定理可求∠ACB=90°，即可證∠ABC=∠CAD，根據“AAS”可證△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度數；

②由BC=1，可求AE=EC=1，BE，根據等腰直角三角形的性質可求∠ABE=∠HBC，可證△ABE∽△HBC，可求CH的長．

（1）∵DA是⊙O切線，∴∠BAD=90°．

∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AOD2；

（2）①∵DA、DC分別切⊙O于點A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．

②如圖，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE．

∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴，即，∴CH．