Question

如圖，已知拋物線y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側．

（1）若拋物線過點G（2，2），求實數m的值；

（2）在（1）的條件下，解答下列問題：

①求出△ABC的面積；

②在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；

（3）在第四現象內，拋物線上是否存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過G（2，2），

∴把G坐標代入拋物線解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），

解得：m=4；

（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，

解得：x₁=﹣2，x₂=m，

∵m＞0，

∴A（﹣2，0），B（m，0），

把m=4代入得：B（4，0），

∴AB=6，

令x=9，得到y=2，即C（0，2），

∴OC=2，

則S△ABC=×6×2=6；

②∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴拋物線解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）的對稱軸為x=1，

如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B與C坐標代入得：，

解得：，

∴直線BC解析式為y=﹣x+2，

令x=1，得到y=，即H（1，）；

（3）在第四現象內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，

分兩種情況考慮：

（i）當△ACB∽△ABM時，則有=，即AB²=AC•AM，

∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，

如圖2，過M作MN⊥x軸，交x軸于點N，則AN=MN，

∴OA+ON=2+ON=MN，

設M（x，﹣x﹣2）（x＞0），

把M坐標代入拋物線解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，∴x+2＞0，

∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），

∴AM==2（m+1），

∵AB²=AC•AM，AC=2，AB=m+2，

∴（m+2）²=2•2（m+1），

解得：m=2±2，

∵m＞0，

∴m=2+2；

（ii）當△ACB∽△MBA時，則=，即AB²=CB•MA，

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，

∴△ANM∽△BOC，

∴=，

∵OB=m，設ON=x，

∴=，即MN=（x+2），

令M（x，﹣（x+2））（x＞0），

把M坐標代入拋物線解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，∴x+2＞0，

∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），

∵AB²=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），

∴（m+2）2=•，

整理得：=0，顯然不成立，

綜上，在第四象限內，當m=2+2時，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．