Question

【題目】已知拋物線

若該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示) ，并證明：不論為何值，該拋物線的頂點(diǎn)都在同一條直線上．

直線截拋物線所得的線段長(zhǎng)是否為定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)， ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；證明見(jiàn)解析；（3）是，

【解析】

（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線解析式中可求出m的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用配方法找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由其縱坐標(biāo)減橫坐標(biāo)為定值，可得出不論m為何值，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)都在同一條直線l上；

（3）將直線l的解析式代入拋物線解析式中可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出直線l截拋物線所得的線段長(zhǎng)．

解：將代入

得

解得或

當(dāng)時(shí)， ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)， ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

方法1：設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

則

頂點(diǎn)坐標(biāo)為

方法2：

∵

頂點(diǎn)坐標(biāo)為

證明：∵

不論為何值，該拋物線的頂點(diǎn)都在同一條直線上

是

將代入得

與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為