Question

（2012•蓮都區模擬）將拋物線y=-2x²-1向上平移若干個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，如果這些交點能構成直角三角形，那么平移的距離為（　　）

• A．

  3

  2

  個單位
• B．1個單位
• C．

  1

  2

  個單位
• D．

  2

  個單位

Answer 1

分析：由題意畫出相應的圖形，設出拋物線向上平移a個單位，且得到a大于1，利用平移規律“上加下減”表示出平移后拋物線的解析式，令解析式中y=0求出x的值，得到B和C的坐標，進而得到BC的長，由平移的距離AM=a，根據原拋物線的解析式求出M的坐標，確定出OM的長，可利用AM-OM表示出OA的長，又平移后拋物線的對稱軸為y軸，得到O為BC的中點，再由三角形ABC為直角三角形，可得斜邊上的中線AO等于斜邊BC的一半，列出關于a的方程，求出方程的解可得到a的值，即為平移的距離．

解答：
解：設拋物線向上平移a（a＞1）個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，
且這些交點能構成直角三角形，
則有平移后拋物線的解析式為：y=-2x²-1+a，AM=a，
∵拋物線y=-2x²-1與y軸的交點M為（0，-1），即OM=1，
∴OA=AM-OM=a-1，
令y=-2x²-1+a中y=0，得到-2x²-1+a=0，
解得：x=±

a-1 2

，
∴B（-

a-1 2

，0），C（

a-1 2

，0），即BC=2

a-1 2

，
又△ABC為直角三角形，且B和C關于y軸對稱，即O為BC的中點，
∴AO=

1

2

BC，即a-1=

a-1 2

，
兩邊平方得：（a-1）²=

a-1

2

，
∵a-1≠0，∴a-1=

1

2

，
解得：a=

3

2

．
故選A

點評：此題考查了二次函數的圖象及幾何變換，涉及的知識有：平移規律，直角三角形的性質，拋物線與x軸的交點，利用了轉化及數形結合的思想，解題的關鍵是根據題意表示出OA及BC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半建立兩邊長的關系，借助方程來解決問題．