Question

如圖①，O是矩形ABCD的邊AB上一點，以O為圓心、OB為半徑作半圓，交BD于E、交AB于F，連接EF．
（1）證明：BA•BF=BD•BE；
（2）設AD=1，AB=x，CD與半圓O相切（如圖②）時，△BEF與△BAD面積的比值為y，將y表示成x的函數；并求E恰好為BD的中點時，y的值（分母可保留根式）．
 

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓的性質及相似三角形對應邊成比例的性質，即可得出結論，
（2）涉及研究線段與線段函數關系的問題，線段作為變量，解題的關鍵是用幾何定理揭示它們之間的等量關系，列出方程后，再化為函數解析式即可．
解答：（1）證明：∵BF是半圓O的直徑，點E在圓周上，
∴∠BEF=90°，
在Rt△BEF和Rt△BAD中，∠BEF=∠BAD=90°，∠EBF=∠ABD，
∴△BAD∽△BEF，
∴，
即BA•BF=BD•BE；

（2）解：∵CD與⊙O相切，
∴⊙O的半徑r=AD=1，
由（1）知，，
∴，
當E為BD的中點時，由（1）知，，
∴x²-4x+1=0，
解得、（舍去），
∴．
點評：本題主要考查了相似三角形對應邊成比例的性質為等量關系，需要列出方程后，再化為函數解析式，難度適中．