Question

如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC，AB=3，BC=4，點P為直線EC上的一點，且PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R．
（1）如圖1，當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=

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（不需證明）．
（2）如圖2，當點P為線段EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時，其它條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

分析：（2）連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．根據矩形的性質及勾股定理求出BD的長，根據三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明；
（3）圖3中的結論是PR-PQ=

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5

．

解答：解：（2）圖2中結論PR+PQ=

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5

仍成立．
證明：連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD=

CD2+BC2

=

32+42

=5．
∵S_△BCD=

1

2

BC•CD=

1

2

BD•CK，
∴3×4=5CK，
∴CK=

12

5

．
∵S_△BCE=

1

2

BE•CK，S_△BEP=

1

2

PR•BE，
S_△BCP=

1

2

PQ•BC，且S_△BCE=S_△BEP+S_△BCP，
∴

1

2

BE•CK=

1

2

PR•BE+

1

2

PQ•BC，
又∵BE=BC，
∴

1

2

CK=

1

2

PR+

1

2

PQ，
∴CK=PR+PQ，
又∵CK=

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5

，
∴PR+PQ=

12

5

；


（3）過C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，連接BP，
S_△BPE-S_△BCP=S_△BEC，S_△BEC是固定值，
BE=BC為兩個底，PR，PQ 分別為高，圖3中的結論是PR-PQ=

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5

．

點評：本題考查了矩形的性質及勾股定理，難度適中，關鍵是掌握好矩形的性質．