Question

已知函數(shù)y=x²+2ax+a²-1在0≤x≤3范圍內(nèi)有最大值24最小值3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：先用配方法把函數(shù)化為頂點式的形式，求出其對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性及題目條件將頂點的橫坐標(biāo)的值分三種情況討論，從而求出實數(shù)a的值．

解答：解：配方y(tǒng)=（x+a）²-1，
函數(shù)的對稱軸為直線x=-a，
頂點坐標(biāo)為（-a，-1）．
①當(dāng)0≤-a≤3即-3≤a≤0時，
函數(shù)最小值為-1，不合題意；
②當(dāng)-a＜0即a＞0時，
∵當(dāng)x=3時，y有最大值；當(dāng)x=0時，y有最小值，
∴

9+6a+a2-1=24 a2-1=3

，解得a=2；
③當(dāng)-a＞3即a＜-3時，
∵當(dāng)x=3時，y有最小值；當(dāng)x=0時，y有最大值，
∴

a2-1=24 9+6a+a2-1=3

，解得a=-5．
∴實數(shù)a的值為2或-5．

點評：本題考查了求二次函數(shù)的最大（小）值的方法．注意，只有當(dāng)自變量x在整個取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y才在頂點處取最值．而當(dāng)自變量取值范圍只有一部分時，必須結(jié)合二次函數(shù)的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值．