Question

如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，直線BD與直線CE相交于點O．
（1）求證：CE=BD；
（2）如果當點A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是銳角，那么∠BOC的度數是否會發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出∠BOC的度數：
（3）如果當點A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ACB是銳角，那么∠BOC的度數是否會發生變化？若變化，請直接寫出變化的結論，不需說明理由；若不變化，請直接寫明結論．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，再求出∠BAD=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△AEC全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ABD，然后求出∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答；
（3）分①∠ABC＞120°時，同理可得△ABD和△AEC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ADB=∠ACE，然后求出∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，然后利用三角形的內角和定理解答；②∠ABC=120°時，點B、C、E在同一直線上，∠BOC不存在；③∠ABC＜120°時，同理可得△ABD和△AEC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ADB=∠ACE，然后求出∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答．

解答：（1）證明：∵△ABE和△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC，∠EAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△AEC中，

AB=AE ∠BAD=∠EAC AC=AD

，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴CE=BD；

（2）解：由（1）知，△ABD≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABD，
又∵△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∴∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE=60°+60°=120°，
在△BOE中，∠BOC=∠OEB+∠OBE=120°，
故∠BOC的度數不會發生變化；

（3）解：①∠ABC＞120°時，如圖1，與（1）同理可得△ABD≌△AEC，
∴∠ADB=∠ACE，
∴∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，
在△ODC中，∠BOC=180°-（∠ODC+∠COD）=180°-120°=60°；
②∠ABC=120°時，點B、C、E在同一直線上，∠BOC不存在；
③∠ABC＜120°時，如圖2，與（1）同理可得△ABD≌△AEC，
∴∠ADB=∠ACE，
∴∠ODC+∠COD=∠ADC+∠ACD=120°，
在△ODC中，∠BOC=∠ODC+∠COD=120°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于（3）要分情況討論．