Question

20、如圖，分別以△ABC的三邊為邊在BC的同側作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．請回答下列問題：
（1）說明四邊形ADEF是什么四邊形？
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？
（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？
（5）當△ABC滿足什么條件時，以A，D，E，F為頂點的四邊形不存在？
（第（2）（3）（4）（5）題不必說明理由）

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質及平行四邊形的判定（兩組對邊分別相等的四邊形是平行邊形）來證明四邊形ADEF是平行四邊形，同理可根據各多邊形的判定方法來證明．

解答：解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．（1分）
∵等邊三角形BCE和等邊三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等邊三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．（4分）

（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．（5分）

（3）當AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°時，四邊形ADEF是菱形．（6分）

（4）當∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°時，四邊形ADEF是正方形．（7分）

（5）當∠BAC=60°時，以A，D，E，F為頂點的四邊形不存在．（8分）

點評：此題考查了學生對全等三角形，平行四邊形，矩形，正方形，菱形的判定方法的理解及運用．