Question

如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點，求證：點P到AB的距離是AB的一半．

Answer 1

分析：分別過E，F，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ=

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2

（ER+FS），易證Rt△AER≌Rt△CAT，則ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．

解答：解：分別過E，F，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則ER∥PQ∥FS，
∵P是EF的中點，∴Q為RS的中點，
∴PQ為梯形EFSR的中位線，
∴PQ=

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2

（ER+FS），
∵AE=AC（正方形的邊長相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，
∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），
同理Rt△BFS≌Rt△CBT，
∴ER=AT，FS=BT，
∴ER+FS=AT+BT=AB，
∴PQ=

1

2

AB．

點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質等知識點，輔助線的作法很關鍵．