Question

在平面直角坐標系中,二次函數的圖像與軸交于點A,B（點B在點A的左側）,與軸交于點C.過動點H（0, ）作平行于軸的直線,直線與二次函數的圖像相交于點D,E.

（1）寫出點A,點B的坐標;

（2）若,以DE為直徑作⊙Q,當⊙Q與軸相切時,求的值;

（3）直線上是否存在一點F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：（1）當=0時，有，解之得：，，∴A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q與軸相切，且與交于D、E兩點，

∴圓心O位于直線與拋物線對稱軸的交點處，且⊙Q的半徑為H點的縱坐標（）

∵拋物線的對稱軸為，

∴D、E兩點的坐標分別為：（－，），（＋，）且均在二次函數的圖像上，

∵，解得或（不合題意，舍去）

（3）存在.

①當∠ACF=90°，AC=FC時，過點F作FG⊥軸于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4，

∵CO=2，∴=OG=2+4=6；

②當∠CAF=90°，AC=AF時，過點F作FP⊥軸于P，∴∠AOC=∠APF=90°，

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4，

∴=FP =4；

③當∠AFC=90°，FA=FC時，則F點一定在AC的中垂線上，此時=3或=1