Question

如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AO=CO．又由△ACE是等邊三角形，可得AE=CE．根據三線合一，對角線垂直，即可得四邊形既為菱形；
（2）根據有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，即四邊形ABCD是正方形，利用正方形的性和等邊三角形的性質即可求出DE的長．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OA=OC，
∵△ACE是等邊三角形．
∴OE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等邊三角形，OE⊥AC，
∴∠AEO=∠AEC=30°，
∵∠AED=2∠EAD，
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，BD⊥AC，
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴OA=OC=OD=AC=3，
∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中，OE=OAtan60°=3
∴DE=OE-OD=3-3．
點評：此題主要考查菱形和正方形的判定．本題考查知識點較多，綜合性強，能力要求全面，難度中等．注意靈活運用正方形和菱形的判定方法．