Question

已知，y=ax²+bx-3過（2，-3），與x軸交于A（-1，0），B（x₂，0），交y軸于C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點C作CD∥x軸，交拋物線于D，是否存直線y=kx+1將四邊形ACDB分成面積相等的兩部分，若存在，請求k的值；若不存在，請說明理由；
（3）若直線y=m（-3＜m＜0）與線段AC、BC分別交于D、E兩點，則在x軸上是否存在點P，使得△DPE為等腰直角三角形，若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將兩點（2，-3），（-1，0）代入拋物線解析式，列方程組求a、b的值即可；
（2）存在，設直線y=kx+1與x軸交于點E，于CD交于點F，先求梯形ACDB的面積，確定E、F兩點坐標，表示梯形ACFE的面積，根據兩個梯形的面積關系，列方程求k的值；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△DPE為等腰直角三角形．分為①當DE為腰，②當DE為底，兩種情況，畫出圖形，根據等腰直角三角形的性質求P點坐標．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx-3過（2，-3），A（-1，0），
∴

4a+2b-3=-3 a-b-3=0

，
解得a=1，b=-2，
所以拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）設直線y=kx+1與x軸交于點E，于CD交于點F，
A（-1，0），B（3，0），
E（-

1

k

，0），F（-

4

k

，-3）；
S_{四邊形ACFE}=

1

2

（CF+AE）•OC=

3

2

（1-

5

K

）；
S_{四邊形EFDB}=

1

2

（DF+BE）•OC=

3

2

（5+

5

K

）；
即（1-

5

K

）=（5+

5

K

），k=-

5

2

．

（3）存在點P．直線y=m與y軸交點為F（0，m），
①當DE為腰時，分別過D、E作DP₁⊥x軸于P₁，
作EP₂⊥x軸于P₂；如圖，
則△DP₁E和△DEP₂均為等腰直角三角形，
又DP₁=DE=EP₂=OF=-m，又AB=x_B-x_A=3+1=4，
又△ECD∽△BCA，即

-m

4

=

3+m

3

，
即m=-

12

7

；P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0）；
②當DE為底時，過P₃作GP₃⊥DE于G，如圖，
又DG=GE=GP₃=OF=-m，由△ECD∽△BCA，

-2m

4

=

3+m

3

，
即m=-

6

5

；P₃（

3

5

，0）
綜上所述，P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0），P₃（

3

5

，0）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求拋物線解析式，利用二次函數的性質表示圖形的面積，根據特殊三角形的性質，結合相似三角形的運用解題．