Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式和頂點M的坐標，并在給定的直角坐系中畫出這條拋物線；
（2）若點（x₀，y₀）在拋物線上，且1≤x₀≤4，寫出y₀的取值范圍；
（3）設平行于y軸的直線x=t交線段BM于點P（點P能與點M重合，不能與點B重合），交x軸于點Q，四邊形AQPC的面積為S
①求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍；
②求S取得最大值時P的坐標；
③設四邊形OBMC的面積為S’，判斷是否存在點P，使得S=S’，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，即可求出a、b、c的值，從而得出拋物線的解析式，即可求出頂點M的坐標．
（2）本題需先根據拋物線的解析式，分兩種情況進行分析，當x₀=1時和x₀=4時y₀的值，即可求出它們的取值范圍．
（3）本題需先根據題意設出直線BM的解析式，再把B與M點的坐標代入，求出直線BM的解析式，從而得出P點的坐標，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的時候，S最大，得出P點的坐標，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S^′，也就是不存在點P．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

∴

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3
∴拋物線的頂點M的坐標是（1，4）

（2）∵拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，
當x₀=1時，y₀=4
當x₀=4時，
y₀=-5，
∴當1≤x₀≤4時，-5≤y₀≤4

（3）①設直線BM的解析式為y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得

3m+n=0 m+n=4

，
∴

m=-2 n=6

∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，
∴P點的坐標為：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=

1

2

×OA×OC+

1

2

（OC+PQ）×OQ 
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2t+6）×t
=-t2+

9

2

t+

3

2

（1≤t＜3）
②S=-t2+

9

2

t+

3

2

=-（t2-

9

2

t-

3

2

）
=-（t-

9

4

)2+²+

105

16

∴當t=

9

4

時，S最大，
∴S的最大值為

105

16

，這時P點坐標為（

9

4

，

3

2

）
③S=

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4
=

7

2

+4
=

15

2

∴S的最大值為

105

16

105

16

＜

15

2

∴S=S′不可能，
∴不存在點P，使S=S′．

點評：本題主要考查了二次函數綜合問題，在解題時要涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和取值范圍以及最大值問題，在求有關最值問題時要注意分析題意分情況討論結果．