Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（12，0）和C（0，-6），對稱軸為x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結論下，直線x=1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（12，0）和C（0，-6），對稱軸為x=2，根據待定系數法可以求得該拋物線的解析式；
（2）假設存在，設出時間t，則根據線段PQ被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質及勾股定理來求解t，看t是否存在；
（3）假設直線x=1上是存在點M，使△MPQ為等腰三角形，此時要分兩種情況討論：①當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點；②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點；然后再根據等腰三角形的性質及直角三角形的勾股定理求出M點坐標．

解答：解：（1）方法一：∵拋物線過C（0，-6）
∴c=-6，即y=ax²+bx-6
由

- b 2a =2 144a+12b-6=0

解得：a=

1

16

，b=-

1

4

∴該拋物線的解析式為y=

1

16

x2-

1

4

x-6（3分）
方法二：∵A、B關于x=2對稱
∴A（-8，0）
設y=a（x+8）（x-12）
C在拋物線上
∴-6=a×8×（-12）
即a=

1

16

∴該拋物線的解析式為：y=

1

16

x2-

1

4

x-6；（3分）

（2）存在，設直線CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=

82+62

=10=AD，
∴點D在對稱軸上，連接DQ，顯然∠PDC=∠QDC （1分）
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC （1分）
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=

1

2

AC=5，（1分）
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分（1分）
在Rt△BOC中，BC=

62+122

=6

5

，
而DQ為△ABC的中位線，
∴CQ=3

5

，
∴點Q的運動速度為每秒

3

5

5

單位長度；（1分）

（3）存在，過點Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=

92+32

=3

10

（1分）
①當MP=MQ，即M為頂點，
設直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），
則：

-6=b 0=2k+b

解得：

b=-6 k=3

∴y=3x-6
當x=1時，y=-3，
∴M₁（1，-3）（1分）
②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點．
設直線x=1上存在點M（1，y），
則OP=3，點M的橫坐標為1，縱坐標為y，根據勾股定理得PM₂²=4²+y²，
又PQ²=90，
則4²+y²=90，
即y=±

74

∴M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)（1分）
③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點，
過點Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F（1，-3）
設直線x=1存在點M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y=-3±

65

∴M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)（1分）
綜上所述：存在這樣的五點：
M₁（1，-3），M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)，M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)．

點評：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數的性質，用待定系數法求函數的解析式，還考查等腰三角形的性質及勾股定理，同時還讓學生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學會分類討論的思想．