Question

如圖①，在凸四邊形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
（1）如圖②，若連接AC，則△ADC的形狀是______三角形．你是根據哪個判定定理？
答：______．（請寫出定理的具體內容）
（2）如圖③，若在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊△BCE，并連接AE，請問：BD與AE相等嗎？若相等，請加以證明；若不相等，請說明理由．
（3）在第（2）題的前提下，請你說明BD²=AB²+BC²成立的理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ADC中，AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形，
又∵∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形（一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形）；
故答案是：等邊；一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形；

（2）∵由（1）知，△ADC是等邊三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等邊三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠DCB=∠ACE，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴BD=EA（全等三角形的對應邊相等）；

（3）證明：∵由（2）知，△BCE是等邊三角形，則BC=CE，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
又∵BD=AE，
∴BD²=AB²+BC²．
分析：（2）通過全等三角形的判定定理SAS證得△BDC≌△EAC，然后根據全等三角形的對應邊相等推知BD=EA；
（3）要證明BD²=AB²+BC²，只需證明△ABE是直角三角形即可（BD=AE）．
點評：本題考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及勾股定理．如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形為等邊三角形：①三邊長度相等；②三個內角度數均為60度；③一個內角為60度的等腰三角形．