Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點(diǎn)，且MC=MD，分別過(guò)C，D兩點(diǎn)，作邊BC，AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為P．
求證：∠PAD=∠PBC．

Answer 1

分析：用中位線定理證明，MF=

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BP=BE，ME=

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AP=DF，進(jìn)而證明△MDF≌△CME，并根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等求證．

解答：證明：如圖：取AP，BP的中點(diǎn)分別為F，E；并連接DF，MF，EC，ME；
根據(jù)三角形的中位線定理得：MF=

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BP=PE，ME=

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AP=PF，
∴四邊形MFPE為平行四邊形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD與Rt△BPC中，
DF=AF=PF=

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PA，CE=BE=PE=

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BP，
∴DF=EM=PF，F(xiàn)M=PE=CE，
∵M(jìn)C=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．

點(diǎn)評(píng)：考查中位線定理在平行四邊形中的應(yīng)用和平行四邊形中全等三角形的證明．