Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，點E和F在邊AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF與CE相交于點G，若△EFG的面積等于1，△CDG的面積等于2，則四邊形ABCD的面積等于

 

．

Answer 1

分析：由于AB∥CD，利用平行線分線段成比例定理的推論可證△EFG∽△CDG，再利用相似三角形閩籍比等于相似比的平方，可得S_△EFG：S_△CDG=（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²，而△EFG的面積等于1，△CDG的面積等于2，
于是（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²=

1

2

，于是有

GF

DG

=

GE

CG

=

2

2

，易求

GE

CE

=

1

2 +1

=

2

-1，同樣由于DF∥BC，于是△EFG∽△EBC，那么S_△EFG：S_△EBC=（

GE

EC

）²=3-2

2

，從而可求S_△EBC，也就易求
S_{四邊形GFBC}，最后可求出S_{四邊形ABCD}．

解答：解：∵AB∥CD，
∴△EFG∽△CDG，
∴S_△EFG：S_△CDG=（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²，
又∵△EFG的面積等于1，△CDG的面積等于2，
∴（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²=

1

2

，
∴

GF

DG

=

GE

CG

=

2

2

，
∴

GE

CE

=

1

2 +1

=

2

-1，
∵DF∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴S_△EFG：S_△EBC=（

GE

EC

）²=3-2

2

，
∴S_△EBC=3+2

2

，
∴S_{四邊形GFBC}=3+2

2

-1=2+2

2

，
同理S_{四邊形GDAE}=2+2

2

，
∴S_{四邊形ABCD}=1+2+2+2

2

+2+2

2

=7+4

2

．
故答案為：7+4

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論．相似三角形面積比等于相似比的平方．