Question

已知等腰梯形ABOC在直角坐標系中如圖所示，AB∥OC，OB=2，OA=．
（1）求點C的坐標；
（2）求經過點B，O，C的拋物線解析式；
（3）若點P為（2）中所求拋物線上一動點，點Q為y軸上一動點，請探索是否存在點P和點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有對應的P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先分別求出過點A的圓的方程和直線OC的方程，再由兩個方程求出點C的坐標即可．
（2）本題需把B，O，C的坐標分別代入拋物線的解析式，即可求出結果．
（3）本題需先求出構成平很四邊形的直線PQ的解析式，再根據解析式用b表示出點P和點Q的坐標，再求出b的值從而得出點P、Q的坐標．
解答：解：（1）∵ABOC等腰梯形，
∴|AC|=|BO|=2，
k_AB==，
于是設過A點的圓為：x²=2²，①
直線OC的方程為y=x，②
由①②解得x=1，x=2（舍去，不能構成等腰梯形），
∴y=，C點的坐標為（1，）；

（2）將0（0，0）B（-2，0）C（1，）代入y=ax²+bx+c得方程組：
，
解得：a=，b=，c=0，
∴y=²+；

（3）∵B（-2，0）C（1，），
∴k_BC==，
|BC|==2，
于是構成平行四邊形的直線PQ為y=x+b，①
y=+，②
由①②得：
x_1，2=；
y_1，2=為P點的坐標，Q點的坐標為（0，b），
|PQ|²=|BC|²=（-0）+（=-b）²=12，
解得b=2和b=4，
當b=2時，x，=-3，y=或x=2，y=，
當b=4時，x=-4，y=或x=3，y=5，
經檢驗P₁（-3，），P₂（3，5）符合題意要求，
對P₁，將x=0代入y=x+2，
對P₂，將x=0代入y=y=x+4，
于是和Q₁（0，），Q₂（0，4）可以構成兩個平行四邊形．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意二次函數的解析式的求法以及等腰梯形和平行四邊形的性質相結合．