Question

【題目】如圖，在△ 中，點 ， ， 分別是邊 ， ， 的中點，且 .

（1）求證：四邊形 為矩形；
（2）若 ， ，寫出矩形 的周長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接 .

∵ ， 分別是邊 ， 的中點，

∴ ， .

∵點 是邊 的中點，

∴ .

∴

∴四邊形 為平行四邊形.

由點 ， 分別是邊 ， 的中點，可得：

.

∵ ，

∴ ，即 .

∴四邊形 為矩形.

（2）

解：由（1）知四邊形ADFE為矩形，

∴ △ABC為RT△，且∠BAC=90°.

∵ F為BC中點，AF=2.

∴BC=4

又∵∠C=30° ，

∴AB=2，

∴AC==2.

∴

【解析】（1）連接 D E，由D、 E 、 F 分別是中點，得到EF∥AD ,AD=EF,根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形. 再根據平行四邊形的性質即與已知條件得DE=AF .根據對角線相等的平行四邊形為矩形.
（2）由（1）知四邊形ADFE為矩形，由矩形性質得△ABC為RT△，且∠BAC=90°.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半由AF=2得BC=4.再由∠C=30° ，得AB=2，由勾股定理得AC==2.從而求出四邊形ADFE的周長。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．