Question

如圖，直角坐標系中，A（-2,0），B（8,0），以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD。

（1）直接寫出C、M兩點的坐標。
（2）連CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由。
（3）在x軸上是否存在一點Q，使周長最��？若存在，求出Q坐標及最小周長，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵    ∴AB=10
                ∵四邊形ABCD為正方形 ∴BC=AB=10
                 ∴C（8，10）
                  連MP，Rt 中，
                   ∴OM=4，即 M（0 ，4）
          （2）CM與⊙P相切         理由：Rt中，
                   ∴
                    Rt中，
                   ∴
                   ∴中，
                   ∴ 即
                    ∴CM與⊙P相切
           （3） 中，CM恒等于10，要使周長最小，即要使最小，故作M關于x軸對稱點M'，連CM'交x軸于點Q，連MQ，此時，周長最小。
                     ∵
                     設直線
                      ∴
                        ∴
                        ∴
                        ∵x 軸垂直平分MM'
                        ∴
                        ∴
                        Rt中，
                        ∴
                         ∴ 周長最小值為
                        ∴存在符合題意的點Q，且
                        此時周長最小值為