Question

如圖所示，已知點E、F在直角三角形ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分別交邊BC所在的直線于點H、G．
（1）如圖（1），如果點E、F在邊AB上，那么線段EG、FH、AC的長度關系為

 

．
（2）如圖（2），如果點E在邊AB上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系為

 

．
（3）如圖（3），如果點E在邊AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系為

 

．
對（1）（2）（3）三種情況的結論，請任選一個給予說明．

Answer 1

分析：（1）過點E作ED∥BC交AC于點D，可得四邊形CDEG是矩形，根據矩形的對邊相等可得EG=CD，然后根據兩直線平行同位角相等求出∠B=∠AED，利用角角邊定理證明△FBH與△AED全等，再根據全等三角形對應邊相等可得FH=AD，整理即可得到EG+FH=AC；
（2）與（1）方法相同，可以求出EG+FH=AC；
（3）與（1）方法相同，可以求出FH+AC=EG．

解答：
解：選擇（1）進行證明．
證明：過點E作ED∥BC交AC于點D，
∴∠B=∠AED，
∵EG∥AC，△ABC是直角三角形，
∴四邊形CDEG是矩形，
∴CD=EG，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∵FH∥AC，
∴∠FHB=∠C=90°，
∴∠ADE=∠FHB=90°，
在△FBH與△AED中，

∠ADE=∠FHB=90° ∠B=∠AED AE=BF

，
∴△FBH≌△AED（AAS），
∴FH=AD，
∴AC=AD+CD=FH+EG，
即EG+FH=AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與證明，作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．