Question

如圖①所示，已知點0是∠EPF的平分線上的點，以點0為圓心的圓與角的兩邊分別交于A，B和C，D．求證：AB=CD．
變式：（1）若角的頂點P在圓上，如圖②所示，上述結論成立嗎？請加以說明；
（2）若角的頂點P在圓內，如圖③所示，上述結論成立嗎？請加以說明．

Answer 1

分析：首先過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，由OP平分∠EPF，根據角平分線的性質，即可判定OG=OH，又由垂徑定理，即可得AB=CD；
（1）過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，由OP平分∠EPF，根據角平分線的性質，即可判定OG=OH，又由垂徑定理，即可得AB=CD；
（2）過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，由OP平分∠EPF，根據角平分線的性質，即可判定OG=OH，又由垂徑定理，即可得AB=CD．

解答：證明：過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

（1）成立．
理由：過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

（2）成立．
理由：過點O作OG⊥AB于點G，作OH⊥CD于點H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

點評：此題考查了垂徑定理與角平分線的性質．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．