Question

已知：在銳角△ABC中，AB=AC．D為底邊BC上一點，E為線段AD上一點，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，連接CE．
（1）求證：∠ABE=∠DAC；
（2）若∠BAC=60°，試判斷BD與CD有怎樣的數量關系，并證明你的結論；
（3）若∠BAC=α，那么（2）中的結論是否還成立．若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據外角的性質，推出∠BED=∠ABE+∠BAE，由∠BAC=∠BAE+∠DAC，根據∠BED=∠BAC進行等量代換即可；
（2）在AD上截取AF=BE，連接CF，作CG∥BE交直線AD于G，∠BED=∠BAC，結合（1）所推出的結論，求證△ACF≌△BAE，根據全等三角形的性質、三角形內角和定理推出∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED，由CG∥BE，可得∠CGF=∠BED，BD：CD=BE：CG，繼而推出∠CFG=∠CGF，即CG=CF，通過等量代換可得BE=AF=2CF，把比例式中的BE、CG用2CF、CF代換、整理后即可推出BD=2DC，總上所述BD與CD的數量關系與∠BAC的度數無關；
（3）根據（2）所推出的結論即可推出若∠BAC=α，那么（2）中的結論仍然還成立．

解答：（1）證明：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=∠BAC，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAC，
∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，
∴∠DAC=∠ABE；

（2）解：在AD上截取AF=BE，連接CF，作CG∥BE交直線AD于G，∠BED=∠BAC，
∵∠FAC=∠EBA，
∴在△ACF和△BAE中，

CA=AB ∠FAC=∠EBA AF=BE

，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴CF=AE，∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠AEB．
：∵∠AFC=∠BEA
∴180°-∠AFC=180°-∠BEA
∴∠CFG=∠BEF，
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED，
∵CG∥BE，
∴∠CGF=∠BED，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF，
∵∠BED=2∠DEC，
∵∠CFG=∠DEC+∠ECF，∠CFG=∠BED，
∴∠ECF=∠DEC，
∴CF=EF，
∴BE=AF=2CF，
∵CG∥BE，
∴BD：CD=BE：CG，
∴BD：CD=2CF：CF=2，
∴BD=2DC，
∴BD與CD的數量關系與∠BAC的度數無關；

（3）解：∵BD與CD的數量關系與∠BAC的度數無關，
∴若∠BAC=α，那么（2）中的結論仍然還成立．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、三角形內角和定理等知識點，關鍵在于正確地作出輔助線，求證相關的三角形全等，認真地進行等量代換．