Question

設S1=1+

1

12

+

1

22

，S2=1+

1

22

+

1

32

，S3=1+

1

32

+

1

42

，…，Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

，設S=

S1

+

S2

+…+

Sn

，則S等于多少？（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．
解題方案：
第一步 特殊化 即先計算特殊值

S1

=

S2

=

S3

=

S4

=
第二步 猜想  

Sn

=
第三步 證明（第二步的猜想）
第四步 計算S．

Answer 1

分析：觀察第一步的幾個計算結果，得出一般規(guī)律．

解答：解：

S1

=

1+1+ 1 4

=

3

2

，

S2

=

1+ 1 4 + 1 9

=

7

6

，

S3

=

1+ 1 9 + 1 16

=

13

12

，

S4

=

1+ 1 16 + 1 25

=

21

20

，…，
猜想：

Sn

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=

S1

+

S2

+…+

Sn

=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

n

-

1

n+1

=n+1-

1

n+1

=

n2+2n

n+1

．

點評：本題考查了數(shù)字算式的變化規(guī)律．關鍵是觀察幾個結果的結果，由特殊到一般，得出規(guī)律．