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設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．
設S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，則S=
 
 （用含n的代數式表示，其中n為正整數）．
分析：由Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，求
Sn
，得出一般規律．
解答：解：∵Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，
∴
Sn
=
n(n+1)+1
n(n+1)
=1+
1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
(n+1)2-1
n+1
=
n2+2n
n+1
．
故答案為：
n2+2n
n+1
．
點評：本題考查了二次根式的化簡求值．關鍵是由Sn變形，得出一般規律，尋找抵消規律．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

（2011•武漢模擬）設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n為正整數，則用含n的代數式表示S為（　　）

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科目：初中數學 來源： 題型：

設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．若S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求S（用含n的代數式表示，其中n為正整數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，則S等于多少？（用含n的代數式表示，其中n為正整數）．
解題方案：
第一步 特殊化 即先計算特殊值
S1
=
S2
=
S3
=
S4
=
第二步 猜想  
Sn
=
第三步 證明（第二步的猜想）
第四步 計算S．

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科目：初中數學 來源：武漢模擬 題型：單選題

設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n為正整數，則用含n的代數式表示S為（　　）
A．
n2-n-1
n+1
B．
n2+2n
n+1
C．
1
n(n+1)
D．
2n+1
n(n+1)

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