Question

如圖，△ABC內接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于AC點E，交PC于點F，連接AF．

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AE的長．（2013舟山卷改編）

Answer 1

（1）AF為圓O的切線，理由為：

        連接OC，

        ∵PC為圓O切線，

        ∴CP⊥OC，

        ∴∠OCP=90°，

        ∵OF∥BC，

        ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，      2分

        ∵OC=OB，

        ∴∠OCB=∠B，

        ∴∠AOF=∠COF，

        由△AOF≌△COF得，      

        ∴∠OAF=∠OCF=90°，

        則AF為圓O的切線；            4分

         

        （2）∵△AOF≌△COF，

        ∴∠AOF=∠COF，

        ∵OA=OC，

        ∴E為AC中點，即AE=CE=AC，OE⊥AC，

        ∵OA⊥AF，            6分

        ∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，

        根據勾股定理得：OF=5，

        ∵S_△AOF=•OA•AF=•OF•AE，

        ∴AE=，     8分