Question

已知：如圖，D是等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一動點，CE⊥CD，且CE=CD．試探究：
（1）在點D的運動過程中，是否存在與線段AD始終相等的線段？如果存在，請證明；如果不存在，請說明理由．
（2）△ACD與△EDB能否全等？如果能，請指出這兩個三角形全等時點D的位置，并證明你的判斷；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）存在，BE=AD．
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）能，點D為AB的中點．
證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠DBE=90°，
要使△ACD與△EDB全等，必須有∠ADC=∠DBE=90°，
此時點D為AB的中點，CD=DB，AD=BE，
∴△ACD≌△EDB．
分析：（1）根據同角的余角相等求出∠ACD=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，再根據全等三角形對應邊相等可得BE=AD，從而得解；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBE=∠A=45°，然后求出∠DBE=90°，從而得出D為AB中點時△ACD與△EDB全等．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，等腰直角三角形的性質，比較簡單，找出全等三角形全等的條件是解題的關鍵．