Question

已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF．
（1）當D點在什么位置時，DE=DF？并加以證明．
（2）探索DE、DF與等腰△ABC的高的關系．說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據三線合一定理求出AD平分∠BAC，根據角平分線性質求出即可．
（2）連接AD，過C作CM⊥AB于M，根據三角形面積公式求出即可．

解答：解：（1）D為中點時，DE=DF，
理由是：
連接AD，
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

（2）DE+DF的長為腰上的高的長，
理由是：連接AD，過C作CM⊥AB于M，
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴

1

2

AB×CM=

1

2

AB×DE+

1

2

AC×DF，
∵AB=AC，
∴DE+DF=CM，
即DE+DF的長為腰上的高的長．

點評：本題考查了角平分線性質，等腰三角形性質，三角形面積的應用，題目具有一定的代表性，難度適中．