Question

如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）試說明：△COD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時，△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CO=CD，∠OCD=60°，可判斷：△COD是等邊三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，當α=150°時，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判斷△AOD為直角三角形；
（3）當△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形時，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根據(jù)∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α．
解答：解：（1）∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°
∴OC=OD
則△COD是等邊三角形；

（2）△AOD為直角三角形．
∵△COD是等邊三角形．
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．

（3）α=125°．
理由：∵△AOD是以O(shè)D為底邊的等腰三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．
∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，
∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，
解得α=125°．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)前后，對應邊相等，對應角相等解題．