Question

如圖：點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將線段OC繞點C按順時針方向旋轉60°得到線段CD，連接OD、AD．
（1）求證：AD=BO；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時（直接寫出答案），△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由旋轉的性質就可以得出△BOC≌△ADC就可以得出AD=BO；
（2）由旋轉可以得出 OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等邊三角形，就可以得出∠ODC=60°，從而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形狀；
（3）由條件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，當∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA時分別求出a的值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵OC繞點C按順時針方向旋轉60°，
∴△BOC≌△ADC，
∴AD=BO；

（2）△AOD是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴DC=OC．∠BOC=∠ADC=150°
∵∠DCO=60°，
∴△OCD是等邊三角形．
∴∠ODC=60°
∴∠ADC=90°，
∴△AOD是直角三角形．

（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
當∠DAO=∠DOA時，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
當∠AOD=ADO時，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
當∠OAD=∠ODA時，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．

點評：本題考查了等邊三角形的判定急性子的運用，旋轉的性質的運用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．