Question

【題目】在平面直角坐標系中，如圖1，將線段AB平移至線段CD，連接AC、BD．

（1）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），點C在y軸的正半軸上，點D在第一象限內，且三角形ACO的面積是6，求點C、D的坐標；

（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知一定點M（1，0），兩個動點E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．

①請你探索是否存在以兩個動點E、F為端點的線段EF平行于線段OM且等于線段OM，若存在，求出點E、F兩點的坐標；若不存在，請說明理由；

②當點E、F重合時，將該重合點記為點P，另當過點E、F的直線平行于x軸時，是否存在△PEF的面積為2？若存在，求出點E、F兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標為（0，4），點D的坐標為（1，2）；（2）①點E的坐標為（1，3），F的坐標為（0，3）或點E的坐標為（0，1），F的坐標為（1，1）；②存在△PEF的面積為2，點E、F兩點的坐標為E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．

【解析】

（1）由點A和點C在y軸上確定出向右平移3個單位，再根據△ACD的面積求出向上平移的單位，然后寫出點C、D的坐標即可．

（2）①根據線段EF平行于線段OM且等于線段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；

②首先根據題意求出點P的坐標為（，2），設點E在F的左邊，由EF∥x軸得出a+b＝1，求出△PEF的面積＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，當EF在點P的上方時，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，與a+b＝1聯立得：，此方程組無解；當EF在點P的下方時，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，與a+b＝1聯立得：，解得：，或；分別代入點E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），點C在y軸的正半軸上，

∴向右平移3個單位，

設向上平移x個單位，

∵S△ACO＝OA×OC＝6，

∴×3x＝6，

解得：x＝4，

∴點C的坐標為（0，4），

﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，

故點D的坐標為（1，2）．

（2）①存在；理由如下：

∵線段EF平行于線段OM且等于線段OM，

∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，

解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，

即點E的坐標為（1，3），F的坐標為（0，3）或點E的坐標為（0，1），F的坐標為（1，1）；

②存在，理由如下：如圖2所示：

當點E、F重合時，，

解得：，

∴2a+1＝2，

∴點P的坐標為（，2），

設點E在F的左邊，

∵EF∥x軸，

∴2a+1＝﹣2b+3，

∴a+b＝1，

∵△PEF的面積＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，

即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，

當EF在點P的上方時，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，與a+b＝1聯立得：，此方程組無解；

當EF在點P的下方時，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，與a+＝1聯立得：，

解得：，或；

分別代入點E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；

綜上所述，存在△PEF的面積為2，點E、F兩點的坐標為E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．