Question

16．如圖，點E，F為正方形ABCD邊BC，CD上的點，且△CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半．
（1）求∠EAF的度數；
（2）若AM⊥EF，求證：AM=AD．

Answer 1

分析 （1）先把△ADF繞著點A按順時針方向旋轉90°后，得到△ABG，得出點G、B、E在一條直線上，GE=BE+BG=BE+DF，再根據△CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半，得出EF=DF+BE，進而得到EF=EG，再判定△EAF≌△EAG（SSS），即可得到∠EAF=∠EAG=$\frac{1}{2}$∠GAF=45°；
（2）根據△EAF≌△EAG，且AB⊥GE，AM⊥EF，即可得到△EAF的面積=△EAG的面積，即$\frac{1}{2}$×GE×AB=$\frac{1}{2}$×EF×AM，再根據EF=EG（已證），得到AB=AM，最后運用等量代換，即可得到AM=AD．

解答 解：（1）把△ADF繞著點A按順時針方向旋轉90°后，得到△ABG，
∴AF=AG，BG=DF，∠ABG=∠D=90°，∠GAF=90°，
又∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴點G、B、E在一條直線上，
∴GE=BE+BG=BE+DF，①
∵△CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半，
∴EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE，
即EF=DF+BE，②
由①②可得，EF=EG，
在△EAF和△EAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{EF=EG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EAG（SSS），
∴∠EAF=∠EAG，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠GAF=45°；

（2）證明：∵△EAF≌△EAG，且AB⊥GE，AM⊥EF，
∴△EAF的面積=△EAG的面積，
即$\frac{1}{2}$×GE×AB=$\frac{1}{2}$×EF×AM，
又∵EF=EG（已證），
∴AB=AM，
又∵正方形ABCD中，AB=AD，
∴AM=AD．

點評 本題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是運用旋轉變換進行解答．解第（2）題時注意運用：全等三角形對應邊上的高相等．