Question

25、如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，AC、AD分別是兩圓的直徑，
（1）C、B、D三點在同一直線嗎？為什么？
（2）當⊙O₁和⊙O₂滿足什么條件時，所得圖中的△ACD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）連接AB、BC、BD，由于AC、AD都是直徑，由圓周角定理易知∠ABC=∠ABD=90°，則∠ABC與∠ABD互補，由此可證得B、C、D三點共線；
（2）若△ACD是等腰三角形，則有三種情況：
①AC=AD，此時兩圓的直徑相等；
②AC=CD，若連接CO₂，根據等腰三角形三線合一的性質得CO₂⊥AD，那么此時點O₂應在⊙O₁上；
③AD=CD，同②．

解答：解：（1）連接AB、BC、BD
∵AC、AD是⊙O₁和⊙O₂的直徑
∴∠ABC=90°，∠ABD=90°（2分）
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°（3分）
∴C、B、D三點在同一條直線上；（4分）

（2）①當⊙O₁與⊙O₂的直徑相等，即AC=AD時所得圖中的△ACD是等腰三角形；
②當O₂在⊙O₁上時，
連接CO₂∵AC是⊙O₁的直徑，∴∠AO₂C=90°
∴CO₂⊥AD（5分）
又O₂A=O₂D
∴CA=CD（6分）
于是當O₂在⊙O₁上時，△ACD是等腰三角形；
③同②當O₁在⊙O₂上時，可得DA=DC，所得圖中的△ACD是等腰三角形．（8分）

點評：此題主要考查了圓周角定理及等腰三角形的判定和性質，需注意的是（2）在判定△ACD是等腰三角形的過程中，存在多種情況，需要分類討論，不要漏解．