Question

21、如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B兩點，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，直線CB交⊙O₁于點D，直線DA交⊙O₂于點E．試證明：AC=EC．

Answer 1

分析：連接AB；根據圓內接四邊形的性質得到∠ABD=∠E；由弦切角定理證得∠FAD=∠ABD=∠E，由于∠FAD=∠CAE，可證得∠CAE=∠E，從而得到AC=EC．

解答：證明：連接AB；
∵AC是⊙O₁的切線，切點為A，
∴∠FAD=∠ABD；
又∠FAD=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE；
而∠ABD是⊙O₂的內接四邊形ABCE的一個外角，
∴∠ABD=∠E，
∴∠EAC=∠E；
∴AC=EC．

點評：連接公共弦是相交兩圓中常見的一條輔助線；熟練運用圓內接四邊形的性質和弦切角定理，進行角之間的轉換是解答本題的關鍵．