Question

13．測量建筑物的高度

在《相似》和《銳角三角函數》的學習中，我們了解了借助太陽光線、利用標桿、平面鏡等可以測量建筑物的高度．綜合實踐活動課上，數學王老師讓同學制作了一種簡單測角儀：把一根細線固定在量角器的圓心處，細線的另一端系一個重物（如圖1）；將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到需測量物體的頂端，這樣可以得出需測量物體的仰角α的度數（如圖2，3）．利用這種簡單測角儀，也可以幫助我們測量一些建筑物的高度．天壇是世界上最大的祭天建筑群，1998年被確認為世界…文化遺產．它以嚴謹的建筑分布，奇特的建筑構造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世．祈年殿是天壇主體建筑，又稱祈谷殿（如圖4）．采用的是上殿下屋的構造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦為藍色，象征藍天．祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇．請你利用所學習的數學知識，設計一個測量方案，解決“測量天壇祈年殿的高度”的問題．要求：
（1）寫出所使用的測量工具；
（2）畫出測量過程中的幾何圖形，并說明需要測量的幾何量；
（3）寫出求天壇祈年殿高度的思路．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，根據正切的概念解答即可．

解答 解：（1）測量工具有：簡單測角儀，測量尺；
（2）設CD表示祈年殿的高度，測量過程的幾何圖形如圖所示；
需要測量的幾何量如下：
①在點A，點B處用測角儀測出仰角α，β；
②測出A，B兩點之間的距離s；
（3）設CD的高度為x m．
在Rt△DBC中，$BC=\frac{x}{tanβ}$，
在Rt△DAC中，$AC=\frac{x}{tanα}$，
∵AB=AC-BC，
∴$s=\frac{x}{tanα}-\frac{x}{tanβ}$，
解得，x=$\frac{s•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．