Question

在?ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB為直徑作⊙O，邊CD切⊙O于點E．
（1）圓心O到CD的距離是

 

．
（2）求由弧AE、線段AD、DE所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π和根號）

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE的長就是所求的量；
（2）陰影部分的面積等于梯形OADE的面積與扇形OAE的面積的差．

解答：解：（1）連接OE．
∵邊CD切⊙O于點E．
∴OE⊥CD
則OE就是圓心O到CD的距離，則圓心O到CD的距離是

1

2

×AB=5．
故答案是：5；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴∠C=∠DAB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BOE=360°-90°-60°-120°=90°，
∴∠AOE=90°，
作EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°，
在直角三角形OEF中，OE=5，
∴OF=OE•tan30°=

5 3

3

．EC=BF=5-

5 3

3

．
則DE=10-5+

5 3

3

=5+

5 3

3

，
則直角梯形OADE的面積是：

1

2

（OA+DE）×OE=

1

2

（5+5+

5 3

3

）×5=25+

25 3

6

．
扇形OAE的面積是：

90π×52

360

=

25π

4

．
則陰影部分的面積是：25+

25 3

6

-

25π

4

．

點評：本題主要考查了扇形的面積的計算，正確作出輔助線，把陰影部分的面積轉化為梯形OADE的面積與扇形OAE的面積的差是解題的關鍵．