Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣3），與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AD：DE＝3：2．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，求MD+MA的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x+b中求得b，則一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，于是可確定A（﹣6，0），作EF⊥x軸于F，如圖，利用平行線分線段成比例求出OF＝4，接著利用一次函數(shù)解析式確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，如圖，則D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再證明Rt△AMH∽R(shí)t△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA的值最小，然后證明Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA，利用相似比求出D′H即可．

解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，

∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A（﹣6，0），

作EF⊥x軸于F，如圖，

∵OD∥EF，

∴＝＝，

∴OF＝OA＝4，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x﹣3＝﹣5，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5），

把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，

∴拋物線解析式為；

（2）作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，如圖，則D′（0，3），

在Rt△OAD中，AD＝＝3，

∵∠MAH＝∠DAO，

∴Rt△AMH∽R(shí)t△ADO，

∴＝，即＝，

∴MH＝AM，

∵MD＝MD′，

∴MD+MA＝MD′+MH，

當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時(shí)MD+MA的值最小，

∵∠D′DH＝∠ADO，

∴Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA，

∴＝，即＝，解得D′H＝，

∴MD+MA的最小值為．