Question

【題目】在四邊形ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線．

（1）如圖1，已知AB=AC=AD，AB∥CD．

①若∠ABC=70°，則∠BAC= °，∠CAD= °；

②若AB=4，BC=2，求BD的長；

（2）如圖2，已知∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°-∠BDC，求證：AB=AC．

Answer 1

【答案】（1）①40，100；②BD=；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）①根據AB=AC,AC=AD,利用等腰三角形的性質可求∠BAC和∠CAD,

(2) ②作AH⊥BC，CP⊥AB, DQ⊥BA ,構造直角三角形BQD,

(3)延長CD至M，使DM=BD , 證明 ,，所以可以證明AB=AM=AC.

試題解析：(1) ①AB=AC, ∠ABC=70°，∠BAC=180°-2∠ABC=40°，AC=AD,

AB∥CD, ∠ACD=40°，所以∠CAD=180°-2∠ACD=100°.

②如圖，作AH⊥BC，CP⊥AB，AB=4，BC=2，勾股定理得AH=，

∴CP= ， BP= ，AP= ，

作 DQ⊥BA ,

∵APC ∴AQ=AP=，

利用勾股定理得

∴BD= .

（2）證明：延長CD至M，使DM=BD ,

∠ADB=90°-∠BDC,

∠ADB=∠ADM ,

又 ∵AD=AD,

∴ ,

∴∠AMD=∠ABD=∠ACD=60°，AB=AM,

∴AB=AM=AC.