Question

如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于點E．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E為線段OD的中點，證明：以O、A、C、E為頂點的四邊形是菱形；
（3）作CF⊥AB于點F，連接AD交CF于點G（如圖2），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，則∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BAC，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根據切線的判定定理即可得到BD為⊙O的切線；
（2）連CE、OC，BE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BE=OE=ED，則△OBE為等邊三角形，于是∠BOE=60°，又因為AC∥OD，則∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四邊形OACE是平行四邊形，加上OA=OE，即可得到四邊形OACE是菱形；
（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，則∠CAF=∠DOB，根據相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，則有，即FC=，再由FG∥BD易證得△AFG∽△ABD，則，即FG=，然后求FC與FG的比即可一個定值．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BAC，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD為⊙O的切線；

（2）證明：連CE、OC，BE，如圖，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴OB=BE=OE，
∴△OBE為等邊三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四邊形OACE是平行四邊形，
而OA=OE，
∴四邊形OACE是菱形；

（3）解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴，即FC=，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴，即FG=，
∴==2，
∴=．
點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；直徑所對的圓周角為直角；熟練掌握等邊三角形的性質和菱形的判定；運用相似三角形的判定與性質解決線段之間的關系．