Question

備受人們關注的好萊塢大型影片《指環王3》將在寧波電影院放映．該影院共有l000個座位，票價不分等次，根據影院的經營經驗：當每張票價不超過l0元時，票可全部售出；當每張票高于l0元時，每提高l元，將有30張票不能售出，為了獲得更好的收益，電影院定一個合適的票價，符合的基本的條件是：①為了方便找零和算帳，票價定為1元的整數倍；②票價：不得高于25元；③影院放映一場的成本費用支出為5750元，票房收入必須高于成本支出，用x（元）表示每張票價，用Y（元）表示該影院放映一場的凈收入（除去成本后的收入）
（1）試問該影院每張最低票價應定為多少？
（2）求出y和x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）試問在符合基本條件的前提下，每張票價定為多少元時，放映一場的凈收入最多？

Answer 1

分析：（1）利用影院放映一場的成本費用支出為5750元，票房收入必須高于成本支出，該影院共有l000個座位，即可求出x最小值；
（2）利用當票價不超過l0元時以及當票價高于10元時分別求出Y與x的函數關系時即可；
（3）利用一次函數的增減性以及二次函數的最值求出即可．

解答：解（1）∵影院放映一場的成本費用支出為5750元，票房收入必須高于成本支出，該影院共有l000個座位，
∴x＞5.75元，
∵票價為l元的整數倍，
∴該院每張最低票價為6元；

（2）當票價不超過l0元時：Y=lOOOx-5750    （6≤x≤10的整數），
當票價高于10元時：Y=x[1000-30（x-10）]-5750，
=-30x²+1300x-5750  （10＜x≤25的整數）；

（3）對于函數Y=1000x-5750（6≤x≤l0的整數）
當x=10時，Y最大=4250（元），
對于函數Y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤25的整數），
當x=-

b

2a

≈21.6時，Y最大，
當每張票定為22元時，Y最大=8830（元），
綜上所述：每張票定為22元時，放映一場凈收入最多，收入為8830元．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及一次函數的增減性和二次函數的最值求法，利用已知正確根據自變量取值范圍得出函數解析式是解題關鍵．