Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，如圖所示，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到△DCB，使得點D落在x軸的正半軸上，連接OC、AD．
（1）求證：OC=AD；
（2）求OC的長．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質，可得OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，根據旋轉的性質，可得∠OBC=∠ABD，根據SAS，可得三角形全等，根據全等三角形的性質，可得答案；
（2）根據旋轉的性質，可得BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，根據等腰三角形的性質，可得∠OCB的度數，根據勾股定理，可得答案．

解答 （1）證明：∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到的，
∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD；
（2）解：∵△AOB與△BCD是邊長為2的等邊三角形，
∴BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，
∴∠BOC=∠BCO=30°，
∴∠OCD=90°．
∵OD=4，CD=2，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OC=$\sqrt{O{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，利用旋轉得出∠OBC=∠ABD是解題關鍵，又利用了全等三角形的判定與性質．