Question

某商店將進價為100元的某商品按120元的價格出售，可賣出300件；若商店在120元的基礎上每漲價1元，就要少賣10件，而每降價1元，就可多賣30件．
（1）求所獲利潤y （元）與售價x（元）之間的函數關系式；
（2）為了獲取最大利潤，商店應將每件商品的售價定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）當x＞120時，此時每件漲價（x-120）元，少賣10（x-120）件，實際賣出〔300-10（x-120）〕件，列出函數解析式，當100＜x＜120時，此時每件降價（120-x）元，多賣30（120-x）件，實際賣出〔300+30（120-x）〕件，由利潤=（售價-進價）×賣的件數，列出數學關系式，
（2）把二次函數解析式寫成頂點坐標式，求出最大值．
解答：解：（1）當x＞120時，此時每件漲價（x-120）元，少賣10（x-120）件，實際賣出〔300-10（x-120）〕件，
即（1500-10x）件y=（x-100）（1500-10x）=-10x²+2500x-150000
當x=125時，y的最大值為6250元；
當100＜x＜120時，此時每件降價（120-x）元，多賣30（120-x）件，實際賣出〔300+30（120-x）〕件，
即（3900-30x）件y=（x-100）（3900-30x）=-30x²+6900x-390000
當x=115時，y的最大值為6750元．
所以，利潤y（元）與售價x（元）之間的函數關系式
y=（x-100）（1500-10x）=-10x²+2500x-150000（x＞120）
y=（x-100）（3900-30x）=-30x²+6900x-390000（100＜x＜120）
（2）由（1）知，當商品價格定為115元時，獲利最大，且最大利潤為6750元．
點評：本題主要考查二次函數在實際問題中的運用，根據利潤=（售價-進價）×賣的件數，列出函數解析式，求最值．