Question

19、平面上有n個點，其中任意三點構成一個直角三角形，求n的最大值．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，然后根據條件所給任意三點要構成直角三角形進行判斷假設即可．

解答：證明：如下圖所示：

三個點ABC構成直角三角形，現在加一點D并使其滿足題意，
①若ABD中斜邊不是AB（如圖一）則∠CBD為鈍角，三角形CBD不為直角三角形，矛盾；
②故AB為三角形ABD斜邊，即D在AB為直徑的圓上，又ACD，BCD是直角三角形，所以只能CD是直徑，
即n=4時滿足．
③若存在異于D的第5點E滿足題意，由①知E比在ABC確定的圓上，則CE不為直徑，
∠CAE與∠CBE中必有一個角為鈍角，矛盾．
綜上n最大為4．

點評：本題考查學生的思維和動手能力，難度較大，關鍵是讀懂題意，所給三點必須要構成直角三角形．