Question

（2007•北京）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，設CD，BE相交于點O，
若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A．請你寫出圖中一個與∠A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題理解等對邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形就是．
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對邊四邊形；
（3）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四邊形DBCE是等邊四邊形．
解答：解：（1）回答正確的給（1分）（如：平行四邊形、等腰梯形等）．

（2）答：與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，
∴∠A=∠BOD，
猜想：四邊形DBCE是等對邊四邊形；

（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．
證法一：如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．
∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．

證法二：如圖，以C為頂點作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點．
∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，
∴在△BDC與△CFB中，

∴△BDC≌△CFB（ASA），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE，
∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．
說明：當AB=AC時，BD=CE仍成立．只有此證法，只給（1分）．
點評：解決本題的關鍵是理解等對邊四邊形的定義，把證明BD=CE的問題轉化為證明三角形全等的問題．