Question

（2007•北京）已知：如圖，A是⊙O上一點，半徑OC的延長線與過點A的直線交于B點，OC=BC，AC=OB．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：AB是⊙O的切線，可以轉化為證∠OAB=90°的問題來解決．本題應先說明△ACO是等邊三角形，則∠O=60°；又AC=OB，進而可以得到OA=AC=OB，則可知∠B=30°，即可求出∠OAB=90°．
（2）作AE⊥CD于點E，CD=DE+CE，因而就可以轉化為求DE，CE的問題，根據勾股定理就可以得到．
解答：（1）證明：如圖，連接OA；
∵OC=BC，AC=OB，
∴OC=BC=AC=OA．
∴△ACO是等邊三角形．
∴∠O=∠OCA=60°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∠OCA為△ACB的外角，
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，
∴∠B=30°，又∠OAC=60°，
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：作AE⊥CD于點E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=；
∵∠D=30°，
∴AD=2，
∴DE=AE=，
∴CD=DE+CE=+．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．