Question

已知：半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A、B兩點，其頂點為F．
（1）求b、c的值及二次函數頂點F的坐標；
（2）寫出將二次函數y=-x²+bx+c的圖象向下平移1個單位再向左平移2個單位的圖象的函數表達式；
（3）經過原點O的直線l與⊙O相切，求直線l的函數表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據⊙O₁的半徑和圓心的坐標，可求得A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線的解析式中，可求出b、c的值．進而可根據二次函數的解析式求出頂點F的坐標．
（2）將原拋物線的解析式化為頂點式，然后再按題目給出的步驟，一步一步的進行平移．
（3）過原點的直線是正比例函數，只需求得直線與圓的切點的坐標，即可確定直線l的解析式．（根據圓的對稱性可知，符合條件的直線l應該有兩條）
解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（3，0）
由題意：
解得：
∴y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∴頂點F（2，1）

（2）y=-x²

（3）設經過原點O的直線l：y=kx（k≠0）與⊙O₁相切于點C
則O₁C⊥OC，OO₁=2，O₁C=1
∴OC=，∠O₁OC=30°
設點C的坐標為（x_c，y_c）
則
∴，得
∴y=x
由圓的對稱性，另一條直線l的解析式是y=-x．
點評：本題主要考查了函數解析式的確定、切線的性質、二次函數圖象的平移等知識．綜合性強，難度較大．