Question

（2013•房山區一模）已知：半徑為1的⊙O₁與x軸交A、B兩點，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A、B兩點，與y軸交于點C
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）經過坐標原點O的直線l與⊙O₁相切，求直線l的解析式；
（3）若M為二次函數y=-x²+bx+c的圖象上一點，且橫坐標為2，點P是x軸上的任意一點，分別聯結BC、BM．試判斷PC-PM與BC-BM的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件先求出A和B點的坐標，再代入y=-x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）設直線l與⊙O相切于點E，過點E作EH⊥x軸于點H，由已知數據求出E點的坐標即可求出直線l的解析式；
（3）PC-PM與BC-BM的大小關系是PC-PM≤BC-BM，此小題要分兩種情況討論分別是①當點P于點B重合時，有PC-PM=BC-BM，②當P異于B時，PC-PM＜BC-BM．

解答：解：（1）由題意可知A（1，0），B（3，0）
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A，B兩點，
∴

1=b+c 9=3b+c

，
解得：

b=4 c=-3

，
∴二次函數的解析式y=-x²+4x-3；
（2）如圖，設直線l與⊙O相切于點E，
∴O₁E⊥l，

∵O₁O=2，O₁E=1，∴OE=

3

，
過點E作EH⊥x軸于點H，
∴EH=

3

2

，OH=

3

2

，
∴E（

3

2

，

3

2

），
∴l的解析式為：y=

3

3

x，
根據對稱性，滿足條件的另一條直線l的解析式為：y=-

3

3

x，
∴所求直線l的解析式為：y=

3

3

x或y=-

3

3

x，
（3）結論：PC-PM≤BC-BM，
理由如下：
∵M為二次函數y=-x²+bx+c的圖象上一點且橫坐標為2，
∴M（2，1）

①當點P于點B重合時，
有PC-PM=BC-BM，
②當P異于B時，
∵直線BM經過點B（3，0）、M（2，1），
∴直線BM的解析式為y=-x+3，
∵直線BM與y軸相交于點F的坐標為F（0，3），
∴F（0，3）于C（0，-3）關于x軸對稱
聯結結PF，
∴BC=BF，PF=PC，
∴BC-BM=BF-BM=MF，PF-PM=PC-PM，
∵在△FPM中，有PF-PM＜FM，
∴PC-PM＜BC-BM，
綜上所述：PC-PM≤BC-BM．

點評：本題考查了用待定系數法求拋物線解析式、直線解析式、直線和坐標軸交點坐標、切線的性質以及三角形的三邊關系，題目的綜合性強，難度中等，特別是第三小題解答時注意分類討論的數學思想運用，防止漏解．